Racines carrées d'un complexe (1) - Corrigé

Énoncé

Calculer les racines carrées de \(2i\) .

Solution

On a \(\left\vert 2i \right\vert=\sqrt{0^2+2^2}=\sqrt{0+4}=\sqrt{4}=2\)

donc \(\begin{align*}2i=2\left(0+i\right)=2\left( \cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=2\text e^{\frac{i\pi}{2}}.\end{align*}\)

Soit \(z \in \mathbb{C}^\ast\) de forme exponentielle \(z=r\text e^{i\theta}\) avec \(r>0\)   et  \(\theta \in \mathbb{R}\) .

On a :
\(\begin{align*}z^2=2i\Longleftrightarrow(re^{i\theta})^2=2\text e^{\frac{i\pi}{2}} \Longleftrightarrow r^2\text e^{2i\theta}=2\text e^{\frac{i\pi}{2}}& \Longleftrightarrow\left\lbrace \begin{array}{l}r^2=2 \\ 2\theta \equiv \dfrac{\pi}{2} \ [2\pi]\end{array} \right.\\& \Longleftrightarrow\left\lbrace \begin{array}{l}r=\sqrt{2} \ \ \text{ car } r>0 \\ \theta \equiv \dfrac{\pi}{4} \ [\pi]\end{array} \right.\end{align*}\)

donc les racines carrées de \(2i\) sont :

• \(\sqrt{2}\text e^{i\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=1+i\)
  
• \(\sqrt{2}\text e^{i\left(\frac{\pi}{4}+\pi\right)}=\sqrt{2}\text e^{\dfrac{5i\pi}{4}}=\sqrt{2}\left(\dfrac{-1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\right)=-1-i\)